1.神奇的卡塔卡塔兰(Catalan)数
2.卡特兰数（Catalan number）（二）
3.国际象棋the Closed Catalan的全面解释
4.编程实现求Catalan数.
5.卡塔兰数的公式是什么？

神奇的卡塔兰(Catalan)数

       卡特兰数(Catalan number)是一个在组合数学中频繁出现的数列，用公式表示为Cn = (1/(n+1)) * (2n choose n)。标源

       卡特兰数的塔兰前几项为1,1,2,5,,,,,,……，拥有多种定义方式。指标

       首先，源码我们有递归定义：C0 = 1，卡塔studentnet 源码对于n>0，标源Cn = Σ(Ci * C(n-1-i))，塔兰0≤i≤n-1。指标

       其次，源码存在递推公式：Cn = 2 * (2n-1 choose n-1) - (2n-2 choose n-1)。卡塔

       另外，标源通项公式为：Cn = (1/(n+1)) * (2n choose n)。塔兰

       证明它们等价的指标关键在于数学归纳法。对于第一个通项公式的源码证明，我们利用二项式定理计算等式右边的系数即可。

       另外，读卡识途源码从递推公式到通项公式，可以通过直接代入和化简来实现。从通项公式到递推公式，则需要迭代计算。

       要将递归定义转化为通项公式，可以采用生成函数法。设卡特兰数的生成函数为C(x)，则可以得到一个二元方程。解这个方程，结合特定条件，可以得到通项公式。

       卡特兰数应用广泛，例如：

       在n×n的网格中，从(0,0)到(n-1,n-1)的路径数为Cn。若要求路径不能与y=x+1有交点，则路径总数为2nCn。vuepress如何修改源码

       括号匹配问题中，Cn表示n对括号序列的合法组合数。

       不相交弦问题中，Cn表示将圆周上2n个点两两配对且不相交的弦的组合数。

       把一个n层的矩形阶梯分为n个矩形的方法数为Cn。

       对于凸多边形的三角划分问题，Cn表示将一个凸的n+2边形划分成n个三角形的方法数。

       在计算机科学中，卡特兰数应用于二叉树的构建、先序遍历的二叉树种类数以及特定序列的匹配问题。

卡特兰数（Catalan number）（二）

       ➤ 满位置二叉树的计数

       有[公式] 个叶子节点的满位置二叉树（即每个节点有0或2个子节点，且左子节点和右子节点是不同的）的计数问题，相当于有 [公式] 个内节点的满位置二叉树的计数问题。

       例如[公式] 时，有如下5种不同的满位置二叉树。

       ➤ 矩阵连乘顺序

       假设矩阵序列[公式] 满足对于任意 [公式] ，远程hook源码VC [公式] 和 [公式] 都是可乘的。

       由于矩阵乘法满足结合律，因此计算矩阵连乘积的不同的计算次序（每次计算都是两个矩阵相乘得到一个结果矩阵）。

       例如[公式] 时有如下5种计算次序。

       如果将“加括号”的乘法次序使用树来表示，就得到了有[公式] 个叶子节点的满位置二叉树。

       ➤ 正多边形的三角剖分

       不解释了，直接看例子吧。

       正5边形有如下5种不同的三角剖分。

       对于正[公式] 边形，固定某一条边，包括该边的三角形作为根，其他三角形作为其他内点，其他边作为叶子。相邻三角形代表的内点之间连线、其三角形代表的天恒最新源码内点和该三角形中属于原来多边形的边之间连线，则得到有 [公式] 个叶子节点的位置二叉树。

       ➤ 阶梯形的矩形剖分

       使用[公式] 个矩形拼成 [公式] 阶梯形。

       考虑[公式] 阶梯形的 [公式] 个“尖”（下图左中的**方格），一定每一个都恰好属于一个分剖的矩形。

       考虑顶端（下图左中的红色方格），它一定和某一个“尖”同属一个矩形。于是这个矩形将大的阶梯形分成左右两个小阶梯形（允许0阶梯形的存在）（例如下图右）。

       例如[公式] 时，包含顶端的矩形有如下6种可能：

       递归地将这个矩形“顶端”和左右两个小阶梯形的“顶端”相连，最终得到“阶梯形的矩形剖分”和“位置二叉树”之间的对应。

       用[公式] 表示 [公式] 阶梯形剖分成 [公式] 个矩形的方法数，则由于包含顶端的矩形将大的阶梯形分成左右两个小阶梯形，于是有

       [公式] 。

       例如由下图可得：[公式] 。

       设[公式] ，则有

       [公式]

       整理得到[公式] ，解得 [公式] 。经过简单验算后可以舍弃 [公式]，于是由 [公式] （牛顿二项式定理）整理得： [公式] ，即：

       [公式] 。

       ——这就是著名的卡特兰数（Catalan number），它们因比利时数学家Eugène Charles Catalan (–)而命名。

国际象棋the Closed Catalan的全面解释

       卡塔兰开局有两种。

       开放卡塔兰 (open catalan/ catalan) 和 锁闭卡塔兰 （closed catalan)。

       开放卡塔兰比锁闭卡塔兰要少用的很多， 因为c4 的黑兵很难保护下来，早晚得丢。

       1.d4 Nf6

       2.c4 e6

       3. g3 d5

       4. Bg2 dxc4

       5. Nf3 Be7

       6. o-o o-o

       7. Qa4 a6!

       8. Qxc4 b5

       9. Qc2 Bb7

       .Bf4/Bg5/Bd2 白方都可以走。

       锁闭卡塔兰：

       1. d4 Nf6

       2. c4 e6

       3. g3 d5

       4. Qc2 c6

       5. Bg2 Be7

       6. Nf3 o-o

       7. o-o

       卡塔兰总体来说是个非常安全的开局。

编程实现求Catalan数.

       我是递推来的，h(n+1)=h(n)*(4n-2)/(n+1)。

       求全部的话应该是最佳的。

       // DEV-C++ 4.9.9.0编译通过

       #include <iostream>

       using namespace std;

       #define MAX 

       #define BASE 

       void multiply(int a[],int len,int b)

       {

           for(int i=len-1,carry=0;i>=0;--i)

           {

               carry+=b*a[i];

               a[i]=carry%BASE;

               carry/=BASE;

           }

       }

       void divide(int a[],int len,int b)

       {

           for(int i=0,div=0;i<len;++i)

           {

               div=div*BASE+a[i];

               a[i]=div/b;

               div%=b;

           }

       }

       int main()

       {

           int i,j,h[][MAX];

           memset(h[1],0,MAX*sizeof(int));

           for(i=2,h[1][MAX-1]=1;i<=;++i)

           {

               memcpy(h[i],h[i-1],MAX*sizeof(int));//h[i]=h[i-1];

               multiply(h[i],MAX,4*i-6);//h[i]*=(4*i-6);

               divide(h[i],MAX,i);//h[i]/=i;        

           }

           while(cin>>i,i>0&&i<) 

           {

               for(j=0;j<MAX&&h[i][j]==0;++j);

               for(printf("%d",h[i][j++]);j<MAX;++j) printf("%d",h[i][j]);printf("\n");

           }    

           system("pause");

           return 0;

       }

卡塔兰数的公式是什么？

       卡特兰数的递归公式是:F(n)=∑(k=1,2...n)F(k-1)*F(n-k)=∑(k=0,1,2...n-1)F(k)*F(n-k+1)。卡特兰数的一般公式是:F(n)=C(2n,n)/(n+1)。

知识拓展

卡塔兰数

       首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n

       卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

要又快又准确地做好数学题，可以以下几个方法：

第一，掌握基本概念和公式。

       在做数学题之前，先要熟悉相关的基本概念和公式，对于常见的数学题型掌握其解题思路和相关的公式非常重要。这样，你在解题的过程中就可以快速地运用相应的知识点，提高解题的准确性。

第二，培养良好的计算技巧。

       在做数学题时，良好的计算技巧可以帮助你更快地解题。例如，掌握基本的四则运算技巧，熟练使用计算器等工具，可以减少计算错误带来的时间浪费。此外，合理地利用近似值和化简等方法，也可以大大简化复杂的计算过程。

第三，注重练习和实战。

       数学题需要不断地练习和反复实战才能提高，只有通过大量的实践才能熟练掌握解题技巧。建议你多做各种类型的数学题，并根据错题来找出自己的薄弱环节，有针对性地进行强化练习。

第四，注意阅读题目。

       在做数学题之前，仔细阅读题目是非常重要的。要仔细理解题目的要求和条件，标注关键信息，明确要解决的问题。只有理解清楚题目，才能有针对性地选择解题方法，并避免因理解错误而导致的解答错误。

       综上所述，要又快又准确地做好数学题，除了掌握基本概念和公式外，还需要培养良好的计算技巧，注重练习和实战，注意阅读题目，建立逻辑思维能力。通过不断的实践和积累，相信你会在数学题上有所突破。